Question

如圖，正方形的邊長為，以為原點建立平面直角坐標系，點在軸的負半軸上，點在軸的正半軸上，把正方形繞點順時針旋轉后得到正方形（），交軸于點，且為的中點，拋物線過點．

（1）求的值；

（2）求點的坐標，并直接寫出點、點的坐標；

（3）求拋物線的函數表達式及其對稱軸；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出所有滿足條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）四邊形為正方形，

，．

又是的中點，

．

由旋轉性質可知，，

在中，．

的值是．

 

（2）過點作軸，垂足為點．

在中，，．

設，則，在中，，

根據勾股定理，得．

即，解得（舍），．

，．

又點在第二象限，點的坐標為．

直接寫出點的坐標為，點的坐標為．

（3）拋物線過點．

  解得

拋物線的函數表達式為．

將其配方，得．

拋物線的對稱軸是直線．

（4）存在點，使為直角三角形． 滿足條件的點共有4個：，，，．