Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，點O是斜邊AB上一點，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E．
（1）當AC=2時，求⊙O的半徑；
（2）設AC=x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）連接OD，OE，由△ABC是直角三角形，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半徑．
（2）由題意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，則兩角正切值相等，進而列出關系式．

解答：解：（1）連接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=

AD

OD

=

2-OD

OD

=

1

3

，解得OD=

3

2

，
∴圓的半徑為

3

2

；

（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=

AC

BC

=

x

8-x

，
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=

AC

BC

=

AD

OD

=

x-y

y

，
解得y=-

1

8

x²+x．

點評：本題主要考查切線的性質和解三角形的相關知識點，不是很難．