Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝2∠AOC，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉45°至圖2的位置，此時∠MOC＝　 　°；

（2）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；

（3）在上述直角三角板從圖1逆時針旋轉一周的過程中，若三角板繞點O按5°每秒的速度旋轉，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由詳見解析；（3）三角板繞點O的運動時間為12秒或48秒．

【解析】

（1）由已知點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝2∠AOC，可求出∠BOC的度數，由旋轉的度數可以求出∠MOC的度數；

（2）因為∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可；

（3）求得∠AOC＝60°，則∠AOD＝30°或∠AON＝30°，即逆時針旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，據此求解．

解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，

∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，

由旋轉可知∠BOM＝45°，

∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°．

故答案為：75．

（2）由（1）得∠AOC＝60°，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，

∴∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM﹣∠NOC＝30°．

（3）由（1）得∠AOC＝60°，

①如下圖，

延長NO，

當直線ON恰好平分銳角∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝30°，

即逆時針旋轉60°時NO延長線平分∠AOC，

由題意得，5t＝60，

∴t＝12；

②如下圖，

當NO平分∠AOC，

∴∠AON＝30°，

即逆時針旋轉240°時NO平分∠AOC，

∴5t＝240，

∴t＝48，

∴三角板繞點O的運動時間為12秒或48秒．