Question

【題目】如圖，在中，，平分交于點，點為上一點，經過點，的分別交，于點，，連接，連接交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）設，，試用含，的代數式表示線段的長；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝；（3）

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；

（2）連接EF，由（1）得到BC為圓O的切線，由弦切角等于夾弧所對的圓周角，進而得到△ABD與△ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）設圓的半徑為r，由sin∠B的值，利用銳角三角函數定義求出r的值，由此求出AF，根據（2）中結論AD＝求出AD，再根據AF∥OD找出相似比，進而求出DG的長即可．

證明：（1）連接OD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD

∵OA＝OD

∴∠ODA＝∠OAD

∴∠ODA＝∠CAD

∴OD∥AC

∵∠ODC＝∠C＝90°

∴OD⊥BC

即BC為⊙O的切線

（2）連接EF

∵AE為⊙O的直徑

∴∠AFE＝∠C＝90°

∴EF∥BC

∴∠B＝∠AEF＝∠ADF

∵∠BAD＝∠DAF

∴△ABD∽△ADF

∴，即

則AD＝

（3）設圓的半徑為r，則OD=r，OB=r+5

在Rt△BOD中，sin∠B＝＝

即＝

解得：r＝3

∴AE＝6，AB＝11

在Rt△AEF中，AF＝AEsin∠AEF＝AEsin∠B＝6×＝

∵AF∥OD，

∴， 即

則DG＝AD＝