Question

28、如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E；
（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE．求證：AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC；
（2）同（1），先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC．

解答：（1）證明：∵AB=AC，AD=CE，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴ABD≌△ACE．
∴∠DAB=∠EAC，∠DBA=∠CAE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC，
∵AB=AC，AD=CE，BD⊥DE，CE⊥DE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠DAB=∠CAE，∠DBA=∠CEA．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠CAE+∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC．

點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用．