Question

如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復(fù)同一過程，第一個正方形的邊長為1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）總結(jié)出S_n與S_n-1的關(guān)系，并猜想出S_n與n的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形邊長相等和等腰直角三角形中腰長為斜邊長的 求解；
（2）觀察圖形，分別求得每個正方形的邊長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)其規(guī)律解題即可．
解答：解：下一個正方形面積為上一個正方形面積的，下一個等腰直角三角形面積為上一個等腰直角三角形面積的，
（1）S₁=1×1+×=，
∴S₂=+=，
S₃=，
S₄=．

（2）根據(jù)（1）的求解，總結(jié)規(guī)律：S_n=S_n-1，
可以發(fā)現(xiàn)：
第一個正方形的邊長為1，
第2個正方形的邊長為（）¹=，
第3個正方形的邊長為（）²=，
…，
第n個正方形的邊長為（）^（n-1）
∴第n個正方形的面積=[（ ）²]^n-1=，
則第n個等腰直角三角形的面積為：×=，
故S_n與n的關(guān)系為：S_n=+．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的面積公式求解．找到第n個正方形的邊長為（）^n-1是解題的關(guān)鍵．