Question

如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復同一過程，第一個正方形的邊長為1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和為S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）總結出S_n與S_n-1的關系，并猜想出S_n與n的關系．

Answer 1

分析：（1）根據正方形邊長相等和等腰直角三角形中腰長為斜邊長的

2

2

求解；
（2）觀察圖形，分別求得每個正方形的邊長，從而發現規律，根據其規律解題即可．

解答：解：下一個正方形面積為上一個正方形面積的

1

2

，下一個等腰直角三角形面積為上一個等腰直角三角形面積的

1

2

，
（1）S₁=1×1+

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

4

，
∴S₂=

1

2

+

1

2

×

1

2

×

2

2

×

2

2

=

5

8

，
S₃=

5

16

，
S₄=

5

32

．

（2）根據（1）的求解，總結規律：S_n=

1

2

S_n-1，
可以發現：
第一個正方形的邊長為1，
第2個正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，
第3個正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n個正方形的邊長為（

2

2

）^（n-1）
∴第n個正方形的面積=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
則第n個等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n與n的關系為：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

．

點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質及正方形的面積公式求解．找到第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1是解題的關鍵．