Question

（2012•黃岡模擬）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點O為坐標原點建立坐標系，設P，Q分別為AB，OB邊上的動點，它們同時分別從點A，O向B點勻速運動，速度均為1厘米/秒，設移動的時間為t（0≤t≤4）秒．
（1）求運動t秒時，P，Q兩點的坐標．（用含t的式子表示）．
（2）若△OPQ的面積為Scm²，運動的時間為t秒，求S與t之間的函數關系式．當t為何值時，S有最大值？最大面積是多少？
（3）當t為何值時，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分？
（4）按此速度運動下去，△OPQ能否成為正三角形？若能，求出時間t；若不能，請說明理由．能否通過改變Q點的速度，使△OPQ成為正三角形？若能，請求出改變后Q的速度和此時t的值．

Answer 1

分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據比例式求出AM、PM的值，P點坐標即可得到，由
（2）根據三角形的面積公式，P點縱坐標與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據二次函數的最值問題求解即可；
（3）因為S_△ABO=

1

2

OA×OB=

1

2

×3×4=6，又S_△PQB=

1

2

BQ×Py=

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t），若直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分
則當

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

1

4

×6或

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

3

4

×6，分別求出符合題意的t值即可；
（4）按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形根據正三角形的性質PN垂直平分邊OQ，所以無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點速度根據正三角形的性質，0Q=2ON，PN=

3

2

OQ，分別列式求解即可得到Q點運動速度和時間t．

解答：解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=5=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，AM=

3

5

t，
∴OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴點P的坐標為（

4

5

t，3-

3

5

t），
∵Q點的運動速度是速度為1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐標是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∵a=-

3

10

＜0，
∴當t=

5

2

時，S_最大=

15

8

；
（3）∵S_△ABO=

1

2

OA×OB=

1

2

×3×4=6，
又S_△PQB=

1

2

BQ×Py=

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t），
當

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

1

4

×6時，則t=

9+ 21

2

（舍去）或

9- 21

2

；
當

1

2

×（4-t）（3-

3

5

t）=

3

4

×6時，則t=

9+ 61

2

（舍去）或

9- 61

2

，
∴當t=

9- 21

2

或

9- 61

2

時，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分；
（4）按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形，理由如下：過點P作PN⊥OQ，
∵OP²=PN²+ON²=PN²+（

4

5

t）2，QP²=PN²+QN²=PN²+（

1

5

t）2，
要使△OPQ成為等邊三角形，則PN²+（

4

5

t）²=PN²+（

1

5

t）2，
∴t=0，但此時不存在三角形，
∴按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形，
設Q點運動的速度為k，若△OPQ為正三角形，則OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×

4

5

t，k=

8

5

，
此時PN=OP•sin60°=

3

2

OP=

3

2

OQ，
即：3-

3

5

t=

3

2

×

8

5

t，
解得：t=

20 3 -15

13

，
∴當Q的運動速度為

8

5

cm/s是，△△OPQ成為正三角形，此時t=

20 3 -15

13

．

點評：此題考查了勾股定理、相似三角形對應邊成比例的性質、等邊三角形的高與底邊的性質，二次函數最值問題以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是數形結合思想與函數思想的應用，注意輔助線的作法，只要肯于動腦也不難解決．