Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（l）當0≤x≤200時，求車流速度v關于x的解析式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時，車流量=車流密度×車流速度）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/時）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，函數v（x）表達式為分段函數的形式，關鍵在于求函數v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據一次函數表達式的形式，用待定系數法可求得；
（2）先在0≤x≤20上，車流量函數為增函數，得最大值為v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，車流量函數為二次函數，然后根據二次函數的最大值問題解答．

解答：解：（1）由題意：當0≤x≤20時，v=60，
當20＜x≤200時，設v=kx+b，
根據題意得，

200k+b=0 20k+b=60

，
解得

k=- 1 3 b= 200 3

，
所以，函數解析式為v=-

1

3

x+

200

3

，
故車流速度v關于x的解析式為v=

60(0≤x≤20) - 1 3 x+ 200 3 (20≤x≤200)

；

（2）依題并由（1）可得車流量v（x）=60x（0≤x＜20），
v（x）=x（-

1

3

x+

200

3

）=-

1

3

（x-100）²+

10000

3

，（20≤x≤200），
當0≤x＜20時，v（x）為增函數，故當x=20時，其最大值為60×20=1200，
當20≤x≤200時，當x=100時，v（x）最大，最大值為=

10000

3

≈3333，
綜上所述，當x=100時，最大值約為3333．
答：（1）函數v關于x的解析式為v=

60(0≤x≤20) - 1 3 x+ 200 3 (20≤x≤200)

；
（2）x=100時，最大值約為3333．

點評：本題主要考查一次函數的應用、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．