Question

已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD．
（1）求證：DB=DE；
（2）若點F是BE的中點，連接DF，且CF=2，求等邊三角形△ABC的邊長．

Answer 1

分析：求證BD=DE，可求解∠DBC=∠E，利用角相等，得出線段相等，對邊長的求解，利用各個三角形角之間的關系，以及等邊三角形的中線等進行求解．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
又∵BD是中線
∴BD平分∠ABC
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=30°
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
又∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠CDE=30°
∴∠DBC=∠E
∴DB=DE

（2）解：由（1）可知DB=DE
又∵點F是BE的中點
∴DF⊥BE
∵∠ACB=60°
∴∠CDF=180°-90°-60°=30°
又∵△CDF為直角三角形
∴CF=

1

2

CD，∴CD=4
∵BD是中線
∴AC=2CD=8
即等邊三角形△ABC的邊長為8．

點評：本題考查了等邊三角形的性質；求得∠CDF=30°是正確解答本題的關鍵．