Question

已知關于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0，若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另一邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：先利用因式分解法求出兩根，再根據a=4為底邊，a=4為腰，分別確定b，c的值，進而求出三角形的周長即可．

解答：解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因為b、c恰是這個方程的兩根，則2=2k-1，
解得k=1.5，
則三角形的三邊長分別為：2，2，4，
∵2+2=4，這不滿足三角形三邊的關系，舍去；
當a=4為等腰△ABC的腰，
因為b、c恰是這個方程的兩根，所以只能2k-1=4，
則三角形三邊長分別為：2，4，4，
此時三角形的周長為2+4+4=10．
∴△ABC的周長為10．

點評：考查一元二次方程的應用；分類探討a=4是等腰三角形的一邊的情況是解決本題的難點．