Question

【題目】某公園在一個扇形OEF草坪上的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子OA，在A處安裝一個自動噴水裝置．噴頭向外噴水．連噴頭在內，柱高m，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的水流在與D點的水平距離4米處達到最高點B，點B距離地面2米．當噴頭A旋轉120°時，這個草坪可以全被水覆蓋．如圖1所示．

（1）建立適當的坐標系，使A點的坐標為（O，），水流的最高點B的坐標為（4，2），求出此坐標系中拋物線水流對應的函數關系式；

（2）求噴水裝置能噴灌的草坪的面積（結果用π表示）；

（3）在扇形OEF的一塊三角形區域地塊△OEF中，現要建造一個矩形GHMN花壇，如圖2的設計方案是使H、G分別在OF、OE上，MN在EF上．設MN＝2x，當x取何值時，矩形GHMN花壇的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣4）2+2；（2）（平方米）；（3）當x=時，S的值最大為：（平方米）．

【解析】

（1）利用頂點式求出二次函數解析式即可；

（2）利用y＝0時求出圖象與x軸的交點坐標，進而得出扇形的半徑，即可得出S的值；

（3）利用銳角三角函數關系得出MH的長，再利用二次函數最值公式求出即可．

（1）根據題意得出：圖象頂點坐標為：（4，2），

故設解析式為：y＝a（x﹣4）2+2，

將（0，），代入上式得：

＝a（0﹣4）2+2，

解得：a＝﹣，

∴拋物線水流對應的函數關系式為：y＝﹣（x﹣4）2+2；

（2）當y＝0時，

0＝﹣（x﹣4）2+2，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），

∴扇形半徑為10米，

∴S＝（平方米）；

（3）過點O作OA⊥EF于點A，交GH于點B，

∵∠EOF＝120°，EO＝FO＝10，

∴∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴AO＝FO＝5，

設MN＝2x，

∴AM＝BH＝x，

∴BO＝x，

∴MH＝5﹣x，

由題意得出：

S＝2x（5﹣x）＝﹣x2﹣10x，

當x＝﹣＝ 時，

S的值最大為：S＝ （平方米）．