Question

【題目】已知：如圖，平行四邊形ABCD中，O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E．

（1）求證：△AOD≌△EOC；

（2）連接AC、DE，當∠B=∠AEB=45°時，求證四邊形 ACED是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根據中點定義可得DO=CO，然后可利用AAS證明△AOD≌△EOC；
（2）當∠B=∠AEB=45°時，四邊形ACED是正方形，首先證明四邊形ACED是平行四邊形，再證對角線互相垂直且相等可得四邊形ACED是正方形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．

∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．

∵O是CD的中點，∴OC=OD，

在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）當∠B=∠AEB=45°時，四邊形ACED是正方形．

∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．

又∵OC=OD，∴四邊形ACED是平行四邊形．

∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠COE=∠BAE=90°．∴□ACED是菱形．

∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．

∴菱形ACED是正方形．