Question

如果關于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個正根，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、-2＜a＜2
• B、

  3

  ＜a≤2
• C、-

  3

  ＜a≤2
• D、-

  3

  ≤a≤2

Answer 1

分析：根據方程x²-ax+a²-3=0至少有一個正根，則方程一定有兩個實數根，即△≥0，關于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個正根?（1）當方程有兩個相等的正根，（2）當方程有兩個不相等的根，①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負根或零根，②若方程有兩個正根，結合二次方程的根的情況可求．

解答：解：∵△=a²-4（a²-3）=12-3a²
（1）當方程有兩個相等的正根時，△=0，此時a=±2，
若a=2，此時方程x²-2x+1=0的根x=1符合條件，
若a=-2，此時方程x²+2x+1=0的根x=-1不符舍去，
（2）當方程有兩個根時，△＞0可得-2＜a＜2，
①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負根或零根，則有a²-3≤0，解可得-

3

≤a≤

3

，而a=-

3

時不合題意，舍去．
 所以-

3

＜a≤

3

符合條件，
②若方程有兩個正根，則

a＞0 a2-3＞0

，
解可得 a＞

3

，
綜上可得，-

3

＜a≤2．
故選C．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用以及一元二次方程根的應用，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．