Question

如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）設AD=b，BD=a，且AC=

5

，DE=

6

，求ab的值．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形的性質可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通過等量減等量即可推出∠ACE=∠BCD，根據全等三角形的判定定理“SAS”，即可退出結論；
（2）根據（1）中所推出的結論可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根據等腰直角三角形的性質推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD為直角三角形，再根據勾股定理即可推出AE²+AD²=DE²，即AD²+BD²=DE²，問題得解．

解答：證明（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

BC=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BD²=DE²，
∵AD=b，BD=a，DE=

6

，
∴a²+b²=6，
∵a+b=5，
∴ab=

19

2

．

點評：本題主要考查全等三角形的判定及性質，勾股定理，等腰直角三角形性質，關鍵在于認真的閱讀題目，正確的運用相關的性質定理求證三角形全等．