Question

【題目】已知，如圖AB是圓O的直徑，射線AM⊥AB于點A．點D在AM上，連接OD交圓O于點E，過點D作DC=DA．交圓O于點C（A，C不重合），連接BC，CE．

（1）求證：CD是圓O的切線；

（2）若四邊形OECB是菱形，圓O的直徑AB=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）依據(jù)SSS證明△OAD≌△OCD，從而得到∠OCD=∠OAD=90°；

（2）依據(jù)菱形的性質(zhì)得到OE=CE，則△EOC為等邊三角形，則∠CEO=60°，依據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠DOA=60°，利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長．

解：如圖，連接OC，∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）∵四邊形OECB是菱形，

∴OE=CE．

又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案為：．