Question

某小企業計劃投資A、B兩類產品的生產，據市場調查：A類是傳統產品，投資x（萬元）的實際收益是y_A=24%x（萬元）；B類是新科技產品，同樣投資x（萬元）在相同的時間內的毛收益是10%x²（萬元），但需支付毛收益的20%作為專利費；并且，根據有關市場預測機構的風險提示，投資B類的投資額不能超過投資A類的投資額的2倍；
（1）寫出投資B類產品的實際收益y_B（萬元）與投資x（萬元）的函數關系式；
（2）若同樣投資x（萬元）生產兩類產品，當x為多少時，兩種產品的實際收益相同？
（3）若企業共有30（萬元）資金分別投資這兩類產品，如何投資才能使總的實際收益最大？最大收益是多少（萬元）？

Answer 1

分析：（1）根據條件中的數量關系可以直接求出函數關系式．
（2）根據解析式建立方程求出其解就可以了．
（3）根據總收益等于兩類產品收益之和就可以設實際總收益為W，建立一個解析式就可以求出其值．

解答：解：（1）由題意，得
y_B=10%x²（1-20%），
=8%x²．
（2）由題意，得
8%x²=24%x，
解得：x₁=0（不符合題意），x₂=3．
∴當投資3萬元生產兩類產品，兩種產品的實際收益相同．
（3）設實際總收益為W萬元，有a萬元投資A產品，有（30-a）投資B產品，由題意，得
W=8%（30-a）²+24%a，
=8%（a-

57

2

）²+7.02，
∵a＞0，拋物線的開口向上，
∴在對稱軸左側，y隨x減小而增大，
∴投資B類的投資額不能超過投資A類的投資額的2倍，
∴最少投資A類a=10萬元，W_最大=34.4萬元．

點評：本題考查了一次函數的解析式，解一元二次方程，二次函數的頂點式的運用，在解答時根據條件建立適當的函數關系式是解答此類問題的關鍵．