Question

【題目】我們把能被13整除的數(shù)稱為“自覺數(shù)”，已知一個整數(shù)，把其個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中加上個位數(shù)的4倍如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)為“自覺數(shù)”，如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來就重復(fù)此過程．如416：41+4×6＝65，65÷13＝5，所以416是自覺數(shù)；又如25281：2528+4×1＝2532，253+4×2＝261，26+4×1＝30，因為30不能被13整除，所以25281不是“自覺數(shù)”．

（1）判斷27365是否為自覺數(shù)　 　（填“是”或者“否”）．

（2）一個四位數(shù)n＝，規(guī)定F（n）＝|a+d﹣b×c|，如：F（2019）＝|2+9﹣0×1|＝11，若四位數(shù)n能被65整除，且該四位數(shù)的千位數(shù)字和十位數(shù)字相同，其中1≤a≤4．求出所有滿足條件的四位數(shù)n中，F（n）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）32．

【解析】

（1）根據(jù)“自覺數(shù)”的方法計算即可得出結(jié)論；

（2）先確定出n既能被5整除也能被13整除，進而確定出或，分兩種情況，利用n能13整除計算即可得出結(jié)論.

（1）

因為65能被13整除

所以27365是自覺數(shù)

故答案為：是；

（2）∵四位數(shù)能被65整除

∴四位數(shù)既能被13整除也能被5整除

∵四位數(shù)n能被5整除

∴四位數(shù)n的個位數(shù)字是0或5

即或

∵四位數(shù)n的千位數(shù)字和十位數(shù)字相同

當(dāng)時，

去掉個位數(shù)字0，得到三位數(shù)

∵四位數(shù)能被13整除

∴三位數(shù)能被13整除

再去掉個位數(shù)字a，得到兩位數(shù)

則能被13整除

∵b是四位數(shù)字的百位數(shù)字

或39或52或65

當(dāng)時，，不存在符合題意的a，b的值

當(dāng)時，，不存在符合題意的a，b的值

當(dāng)時，，不存在符合題意的a，b的值

當(dāng)是，，此時

即

當(dāng)時，

去掉個位數(shù)字5得到三位數(shù)

∵四位數(shù)能被13整除

能被13整除

而的個位數(shù)字是a

再去掉個位數(shù)字，得到的兩位數(shù)的個位數(shù)字為，十位數(shù)字是a

則能被13整除

或39或52或65

當(dāng)時，，不存在符合題意的a，b的值

當(dāng)時，，此時

即

當(dāng)時，，此時

即

當(dāng)時，，此時

即

綜上，的值為32或11或16或19

故最大值為32.