Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，將另外一個含30°角的△EDF的30°角的頂點D放在AB邊上，E、F分別在AC、BC上，當點D在AB邊上移動時，DE始終與AB垂直．
（1）設AD=x，CF=y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數自變量的取值范圍；
（2）如果△CEF與△DEF相似，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由于∠EDF=30°，且DE總垂直于AB，因此∠FDB=60°，此時發現△FDB是等邊三角形，那么BF=BD，可分別用x、y表示出BD、BF的長，根據上面的等量關系即可得到y、x的函數關系式；求x的取值范圍時，可參照兩個條件：①y≥0，②若E在AC上，那么y值最大時，E點與C點重合，可據此求出x的最大值；
（2）由于∠C是直角，當△CEF與△DEF相似時，△DEF必為直角三角形，那么可分兩種情況討論：
①∠DEF=90°，此時，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此時△CEF∽△FED；
可根據各相似三角形得到的比例線段求出y的值，進而可求得AD的值．

解答：解：（1）∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB=∠B=60°，∴△BDF是等邊三角形；
∵BC=1，∴AB=2；
∴2-x=1-y；
∴y=x-1；（2分）
自變量的取值范圍是：1≤x≤

3

2

；（3分）

（2）①如圖，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，

∴

CF

EF

=

EF

DF

，即

y

2y

=

2y

1-y

解得，y=

1

5

；
∴BF=1-

1

5

=

4

5

，（4分）AD=AB-BD=2-

4

5

=

6

5

；（5分）
②如圖2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，

∴

CF

FD

=

CE

EF

，即

y

1-y

=

1

2

；
解得，y=

1

3

；
∴BF=1-

1

3

=

2

3

；（6分）
∴AD=AB-BD=2-

2

3

=

4

3

．（7分）

點評：此題主要考查了直角三角形的性質、一次函數的應用、相似三角形的判定和性質；同時還考查了分類討論的數學思想．