Question

（2004•泰州）拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-1，0）、B（3，0），交y軸于點C，頂點為D，以BD為直徑的⊙M恰好過點C．
（1）求頂點D的坐標（用a的代數式表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P使△PBD為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點A（-1，0）和B（3，0）一定關于拋物線的對稱軸對稱，因而函數的對稱軸是x=1，把x=1代入拋物線的解析式就可以求出D的坐標；
（2）過點D作DE⊥y軸于點E，易證△DEC∽△COB，根據相似三角形的對應邊的比相等就可以求出a的值．從而求出拋物線的解析式；
（3）本題應分∠BPD=90°，∠DBP=90°，∠BDP=90°三種情況進行討論．第一種情況P就是滿足條件的點．
第二種情況中，過點P₂作P₂R⊥x軸于點R，由△BP₂R∽△DBH就可以求出．
第三種情況，設DP₃的延長線交y軸于點N，可證△EDN∽△HDB，求出直線DN的解析式，就可以求拋物線與直線DN的交點．
解答：解：（1）（方法一）由題意：設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴點C（0，-3a），D（1，-4a），
（方法二）由題意：，
解得．
∴y=ax²-2ax-3a（下同方法一）；

（2）（方法一）過點D作DE⊥y軸于點E，易證△DEC∽△COB
∴∴
∴a²=1．
∵a＜0，
∴a=-1．
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．
（方法二）過點D作DE⊥y軸于點E，過M作MG⊥x軸于點G，
設⊙M交x軸于另一點H，交y軸于另一點F，可先證四邊形OHDE為矩形，則OH=DE=1，再證OF=CE=-a，
由OH•OB=OF•OC得：（-a）（-3a）=1×3，
∴a²=1；（下同法一）

（3）符合條件的點P存在，共3個
①若∠BPD=90°，P點與C點重合，則P₁（0，3）（P₁表示第一個P點，下同）
②若∠DBP=90°，過點P₂作P₂R⊥x軸于點R，
設點P₂（p，-p²+2p+3）
由△BP₂R∽△DBH得，，
即，
解得或p=3（舍去）
故
③若∠BDP=90°，設DP₃的延長線交y軸于點N，可證△EDN∽△HDB，
求得EN=，
∴N（0，）．
求得DN的解析式為，
求拋物線與直線DN的交點得P₃（），
綜上所述：符合條件的點P為（0，3）、、（）．
點評：本題是二次函數與圓以及相似三角形相結合的題目，難度較大，利用數形結合有利于對題目的理解．