Question

點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，A是OD的中點(diǎn)，且AB=AD．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）如果⊙O的半徑為1，弦AE∥BD，cos∠AEB=

3

2

，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知求出AB=AD=OA，推出∠DBO=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）先證明△ABD≌△EOD，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBE的面積．

解答：（1）證明：連接OB，
∵AC是⊙O直徑，
∴OA=OC，
∵AB=AD，A為OD中點(diǎn)，
∴AB=AD=OA，
∴∠DBO=90°，
∴OB⊥DB，
∵OB為半徑，
∴BD是⊙O切線；

（2）解：連接OE，OB，
∵∠DBO=90°，AE∥BD，
∴∠ADO=90°，
∵AB=AD=OA，
∴AB=OE，
∴△ABD≌△EOD，
∴S_陰影=S_扇形OBE=

60π×12

360

=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，垂徑定理，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的面積，扇形的面積，弓形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．