Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：AB＝AD；

（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；

（3）過(guò)點(diǎn)E作ME∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PB．設(shè)PB＝a，點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)E是否可能重合？若可能，請(qǐng)說(shuō)明理由并求此時(shí)MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）22.5°；（3）當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)E可以重合，見(jiàn)解析，4a

【解析】

（1）證明Rt△ABC≌Rt△ADC即可；

（2）通過(guò)等量代換得出△ABE是等腰直角三角形，再由邊角關(guān)系得出∠BAC的度數(shù)即可；

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由現(xiàn)有條件得出MC平分∠PME，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC＝EC，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)得出點(diǎn)M、點(diǎn)E、點(diǎn)P關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，這三點(diǎn)共線，也即MO+PO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)E重合，最后通過(guò)邊角運(yùn)算得出最小值即可．

（1）證明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，

∵BC＝CD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．

∴AB＝AD．

（2）解：∵AE＝BE+DE，

又∵AE＝AD+DE，

∴AD＝BE．

∵AB＝AD，

∴AB＝BE．

∴∠BAD＝∠BEA．

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAD═45°．

∵由（1）得△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC．

∴∠BAC═22.5°．

（3）解：當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)E可以重合，理由如下：

∵ME∥AB，

∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．

∵MP⊥DC，

∴∠MPC＝90°．

∴∠MPC＝∠ADC＝90°．

∴PM∥AD．

∴∠EAM＝∠PMA．

由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，

∴∠EAC＝∠MAB，

∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．

又∵MP⊥CP，ME⊥CE，

∴PC＝EC．

如圖，連接PB，連接PE，延長(zhǎng)ME交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．

設(shè)∠EAM＝α，則∠MAP＝α．

在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．

在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．

∵PC＝EC，

∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．

∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．

∵ME∥AB，

∴∠QED＝∠BAD＝2α．

當(dāng)∠PED＝∠QED時(shí)，

∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，

∴△PDE≌△QDE（ASA）．

∴PD＝DQ．

即點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線AE成軸對(duì)稱(chēng)，也即點(diǎn)M、點(diǎn)E、點(diǎn)P關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，這三點(diǎn)共線，也即MO+PO的值最小時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．

因?yàn)楫?dāng)∠PED＝∠QED時(shí)，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．

所以，當(dāng)∠ABD＝60°時(shí)，MO+PO取最小值時(shí)的點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．

此時(shí)MO+PO的最小值即為ME+PE．

∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，

∴△PCB≌△ECD（SAS）．

∴∠CBP＝∠CDE＝90°．

∴∠CBP+∠ABC＝180°．

∴A，B，P三點(diǎn)共線．

當(dāng)∠ABD＝60°時(shí)，在△PEA中，

∠PAE＝∠PEA＝60°．

∴∠EPA＝60°．

∴△PEA為等邊三角形．

∵EB⊥AP，

∴AP＝2AB＝2a．

∴EP＝AE＝2a．

∵∠EMA＝∠EAM＝30°，

∴EM＝AE＝2a．

∴MO+PO的最小值為4a．