Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60⁰，M是BC的中點．

(1)求證：⊿MDC是等邊三角形；

(2)將⊿MDC繞點M旋轉，當MD(即M)與AB交于一點E，MC即M)同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成⊿AEF．試探究⊿AEF的周長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿AEF周長的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：過點D作DP⊥BC，于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q， 　　∵∠C＝∠B＝600 　　∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB　　(1分) 　　又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，故BC＝2AD， 　　由已知，點M是BC的中點， 　　BM＝CM＝AD＝AB＝CD　　(2分) 　　即⊿MDC中，CM＝CD，∠C＝600，故⊿MDC是等邊三角形　　(3分) 　　(2)解：⊿AEF的周長存在最小值，理由如下： 　　連接AM，由(1)平行四邊形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿M是等邊三角形， 　　∠BMA＝∠BME＋∠AME＝600，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝600 　　∴∠BME＝∠AMF　　(5分) 　　在⊿BME與⊿AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝600 　　∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)　　(6分) 　　∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB 　　∵∠EMF＝∠DMC＝600，故⊿EMF是等邊三角形，EF＝MF　　(7分) 　　∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是． 　　⊿AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF， 　　⊿AEF的周長的最小值為2＋　　(8分)