Question

如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O、A），過P、O兩點的二次函數y₁和過P、A兩點的二次函數y₂的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D，當OD=AD=3時，這兩個二次函數的最大值之和等于    ．

Answer 1

【答案】分析：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，設P（2x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
解答：解：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=2，
由勾股定理得：DE==，
設P（2x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴=，=，
∵AM=PM=（OA-OP）=（4-2x）=2-x，
即=，=，
解得：BF=x，CM=-x，
∴BF+CM=．
故答案為：
點評：此題考查了二次函數的最值，勾股定理，等腰三角形性質，以及相似三角形的性質和判定的應用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．