Question

【題目】在已知,口ABCD中∠ABC=90°,AB=4cm，BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.

(1)如圖1，連接AF、CE.求證: 四邊形AFCE為菱形.

(2)如圖1，求AF的長.

(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中, 點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)5cm;(3) 秒.

【解析】（1）根據(jù)全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形判定推出即可；

（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（3）分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形

∵AC⊥EF

∴四邊形為菱形

（2）∵EF垂直平分AC

∴AF=CF

∴設(shè)AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得，

解得x=5，∴AF=5cm；

（3）∵ 顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形，

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=t，QA=12﹣0.8t，∴t=12﹣0.8t，解得，

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)秒