Question

如圖，同心⊙O，大⊙O的直徑AB=2，小⊙O的直徑CD=2，連接AC、AD、BD、BC，AD、CB分別交小⊙O于E、F．
（1）問四邊形CEDF是何種特殊四邊形？請證明你的結論；
（2）當AC與小⊙O相切時，四邊形CEDF是正方形嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形CEDF是矩形．
證明：∵CD是小⊙O的直徑，
∴∠CFD=∠CED=90°，
又∵AB、CD分別是大⊙O、小⊙O的直徑，
∴OC=OD，OA=OB，
∴四邊形ADBC是平行四邊形，
∴CB∥AD，
∴∠CFD+∠EDF=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四邊形CEDF是矩形．
答：四邊形CEDF是矩形．

（2）解：四邊形CEDF是正方形．
理由：∵AC是小⊙O的切線，CD是直徑，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACO中，OA=，OC=1，AC²+1²=5，
∴AC=2，
則CD=AC=2，∠CDE=45°，
∴DE=CE，
∴矩形CEDF是正方形．
答：當AC與小⊙O相切時，四邊形CEDF是正方形．
分析：（1）四邊形CEDF是矩形，理由是由CD是小⊙O的直徑，得出∠CFD=∠CED=90°，證出平行四邊形ADBC，得出CB∥AD，根據平行線的性質得出∠EDF=90°，即可判斷出答案；
（2）在Rt△ACO中，OA=，OC=1，根據勾股定理求出AC，推出CD=AC=2，∠CDE=45°，進一步推出DE=CE，即可推出答案．
點評：本題主要考查對勾股定理，平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，正方形的判定，切線的性質，平行線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是證此題的關鍵，題型較好，難度適中．