Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，OB=4，以O點為原點，OB邊所在直線為x軸，建立直角坐標系．在x軸上取一點D（2，0），作一個邊長為2的等邊△PDE，此時P點與O點重合，E點在線段AB上（如圖）．將△PDE沿x軸向右平移，直線AB與直線ED交于點F，回答下列問題：
（1）找出一條與OP始終相等的線段，并說明理由；
（2）設點P與原點的距離為x，此時等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積為y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（圖2，圖3為備用圖）

Answer 1

分析：（1）設出E點的坐標，從而表示出點P、F的坐標，求出線段EF的長度恰好等于OP；
（2）0≤x≤2時，設PE交AB于G，證明得出△GFE為直角三角形，又因為OP=EF，從而求出S_△GFE，陰影部分面積即為S_△EPD-S_△GFE；2＜x≤4時，重疊部分為直角△PGB的面積，由OP=x，得到PB=4-x，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出PG的長，再利用30°的余弦函數值求出GB的長，利用直角邊乘積的一半即可求出面積；x＞4時△EFG在△AOB之外，y=0．

解答：解：（1）與OP始終相等的線段為EF，
證明：設等邊△PDE運動到某位置時E點坐標為（x₁，

3

）（x₁≥1），
則P（x₁-1，0），則OP=x₁-1，
∵∠EDP=60°，E(x1，

3

)在直線ED上，
∴ED的解析式為y=-

3

（x-x₁）+

3

，
由題意可得直線AB的解析式為y=-

3

3

x+

4 3

3

，
則直線AB和直線ED的交點F的坐標為（

3x1-1

2

，-

3 x1-3 3

2

），
則EF=

(x1- 3x1-1 2 )2+( 3 + 3 x1-3 3 2 )2

=x₁-1=OP，
∴與OP始終相等的線段為EF；

（2）設PE交AB與點G，由題意可知△PDE的面積為

3

，
當0≤x≤2時，在圖1中∠EPB+∠GBP=60°+30°=90°，
∴PE⊥AB，
∴△EFG為直角三角形，
∵∠E=60°，EF=OP=x，
∴∠EFG=30°，
∴GE=

1

2

x，GF=

3

2

x，
∴S_△EFG=

1

2

×EG×GF=

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=

3

8

x²，
∴等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積y=S_△EPD-S_△GFE，即y=

3

-

3

8

x（0≤x≤2）；
當2＜x≤4時，等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積為S_△PGB，
OP=x，則PB=4-x，所以PG=

4-x

2

，GB=

3 (4-x)

2

，且△PGB為直角三角形，
所以S_△PGB=

1

2

×

4-x

2

×

3 (4-x)

2

=

3 (4-x)2

8

；
當x＞4時，兩個三角形相離，故y=0．

點評：本題考查了正三角形直角三角形面積求法及分類討論的思想，具有較強的綜合性．