Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在直線OB 上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN．

（1）求當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值．

（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；

（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB 內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（4）在（3）中，設(shè)PN與EC的交點(diǎn)為R，是否存在點(diǎn)R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)，

MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=

又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°

tan∠B=

∴，即等邊△PMN的邊長(zhǎng)為.（4分）

（3）①當(dāng)時(shí)，如圖AP=，∴

∴，∴，

∴.

過(guò)F作FQ⊥0B于Q，則QN=4，∴EF=OQ=.

等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積，設(shè)為S_1，

∴

∵＞0，∴S₁隨t的增大而增大，

∴t=1時(shí)，，∴S₁的最大值為.（7分）

②當(dāng)＜t＜2時(shí)，如圖

在△EGK中，GE=，∴EK=，

∴S_△GEK=.

∴等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積與△EGK的面積差，設(shè)為S₂，

∴.

∵，對(duì)稱軸為，

∴時(shí)，的最大值為.（9分）

當(dāng)時(shí)，。

綜上可知：當(dāng)時(shí)，S的最大值為.（10分）

（4）過(guò)R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，

①OR=OD=12時(shí)，，

∴，，∴＞2，不合題意舍去。

②DR=OD=12時(shí)，，

∴，∴＞2，或＜0，都不合題意舍去。

③OR=DR時(shí)，H為CD中點(diǎn)，OH=6，∴，∴。

綜上所述，時(shí)，△ODR是等腰三角形。（12分）

【解析】（1）利用直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半即可求出AP，進(jìn)而求出t的值；

（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長(zhǎng)，再利用解直角三角形求出PN的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)當(dāng)0≤t≤1時(shí)以及當(dāng)t=1時(shí)和當(dāng)t=2時(shí)，分別求出S的值；

（4）根據(jù)當(dāng)D為頂點(diǎn)，OD=OR₁=6時(shí)，當(dāng)R₂為頂點(diǎn)，OR₂=DR₂時(shí)，③當(dāng)O為等腰△的頂點(diǎn)時(shí)，分別得出即可