Question

已知：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是優弧AB上一點，BD∥OA，交CA延長線于點D，連接BC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，如圖．根據題意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．則∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．從而得出CD是⊙O的切線．
（2）作OE⊥AC于點E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．
解答：（1）證明：連接OB，如圖．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又點B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：作OE⊥AC于點E．
∵OE⊥AC，AC=，
∴AE==．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，
解法二：如圖
延長AO與⊙O交于點F，連接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，．
∴AO==4．
點評：本以考查了切線的判定和性質，以及解直角三角形，是基礎知識要熟練掌握．