Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3經過點N（2，-5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側于點M，MN=6．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P（x，y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當△DMN為直角三角形時，求點P的坐標；
（3）設此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據MN平行x軸，MN=6，點N坐標為（2，-5），可得出點M的坐標，然后利用待定系數法求解函數解析式即可；
（2）設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G，此時拋物線的對稱軸是MN的中垂線，根據△DMN為直角三角形，可得出D₁及D₂的坐標，分別求出MD1及MD2的函數解析式，結合拋物線可得出點P的坐標；
（3）分兩種情況進行討論，①點Q在MN上方，②點Q在MN下方，然后根據兩角相等，利用三角函數建立方程，解出x的值后檢驗即可得出答案．
解答：解：（1）由題意得，MN平行x軸，MN=6，點N坐標為（2，-5），
故可得點M坐標為（-4，-5），
∵y=ax²+bx+3過點M（-4，-5）、N（2，-5），
∴可得，
解得：，
故此拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G，
若△DMN為直角三角形，則，
可得D₁（-1，-2），D₂（-1，-8），
從而可求得直線MD₁解析式為；y=x-1，直線MD₂解析式為：y=-x-9，
將P（x，-x²-2x+3）分別代入直線MD₁，MD₂的解析式，
得-x²-2x+3=x-1①，-x²-2x+3=-x-9②、
解①得 x₁=1，x₂=-4（舍），
即P₁（1，0）；
解②得 x₃=3，x₄=-4（舍），
即P₂（3，-12）；
故當△DMN為直角三角形時，點P的坐標為（1，0）或（3，-12）．
（3）設存在點Q（x，-x²-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，
①若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN，交MN于點H，
則QH=-x²-2x+3+5，MH=（x+4）、
故，即-x²-2x+3+5=4（x+4）、
解得x₁=-2，x₂=-4（舍），
故可得點Q₁（-2，3）；
②若點Q在MN下方，
同理可得Q₂（6，-45）．
綜上可得存在點Q，使∠QMN=∠CNM，點Q的坐標為（-2，3）或（6，-45）．
點評：此題屬于二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、一元二次方程的求解及三角函數的知識，難點在第二問和第三問，注意要分類討論，不要漏解，要求我們能將所學的知識融會貫通．