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在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3經過點N(2,-5),過點N作x軸的平行線交此拋物線左側于點M,MN=6.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P(x,y)為此拋物線上一動點,連接MP交此拋物線的對稱軸于點D,當△DMN為直角三角形時,求點P的坐標;
(3)設此拋物線與y軸交于點C,在此拋物線上是否存在點Q,使∠QMN=∠CNM?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)根據MN平行x軸,MN=6,點N坐標為(2,-5),可得出點M的坐標,然后利用待定系數法求解函數解析式即可;
(2)設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G,此時拋物線的對稱軸是MN的中垂線,根據△DMN為直角三角形,可得出D1及D2的坐標,分別求出MD1及MD2的函數解析式,結合拋物線可得出點P的坐標;
(3)分兩種情況進行討論,①點Q在MN上方,②點Q在MN下方,然后根據兩角相等,利用三角函數建立方程,解出x的值后檢驗即可得出答案.
解答:解:(1)由題意得,MN平行x軸,MN=6,點N坐標為(2,-5),
故可得點M坐標為(-4,-5),
∵y=ax2+bx+3過點M(-4,-5)、N(2,-5),
∴可得
解得:
故此拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

(2)設拋物線的對稱軸x=-1交MN于點G,
若△DMN為直角三角形,則
可得D1(-1,-2),D2(-1,-8),
從而可求得直線MD1解析式為;y=x-1,直線MD2解析式為:y=-x-9,
將P(x,-x2-2x+3)分別代入直線MD1,MD2的解析式,
得-x2-2x+3=x-1①,-x2-2x+3=-x-9②、
解①得 x1=1,x2=-4(舍),
即P1(1,0);
解②得 x3=3,x4=-4(舍),
即P2(3,-12);
故當△DMN為直角三角形時,點P的坐標為(1,0)或(3,-12).
(3)設存在點Q(x,-x2-2x+3),使得∠QMN=∠CNM,
①若點Q在MN上方,過點Q作QH⊥MN,交MN于點H,
則QH=-x2-2x+3+5,MH=(x+4)、
,即-x2-2x+3+5=4(x+4)、
解得x1=-2,x2=-4(舍),
故可得點Q1(-2,3);
②若點Q在MN下方,
同理可得Q2(6,-45).
綜上可得存在點Q,使∠QMN=∠CNM,點Q的坐標為(-2,3)或(6,-45).
點評:此題屬于二次函數的綜合題,涉及了待定系數法求函數解析式、一元二次方程的求解及三角函數的知識,難點在第二問和第三問,注意要分類討論,不要漏解,要求我們能將所學的知識融會貫通.
練習冊系列答案
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
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(2)設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
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?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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在平面直角坐標系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標平面中確定點P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點P共有
5
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個.

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(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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