Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結論：

①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．

其中正確的是          （寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：切線的性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質。

解答：解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項①錯誤；

連接BD，如圖所示：

∵GD為圓O的切線，

∴∠GDP=∠ABD，

又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，

∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，

∴∠GDP=∠GPD，

∴GP=GD，選項②正確；

∵直徑AB⊥CE，

∴A為的中點，即=，

又C為的中點，∴=，

∴=，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP，

又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確；

連接CD，如圖所示：

∵=，

∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴=，即AC²=CQ•CB，

∵=，

∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，

∴△ACP∽△ADC，

∴=，即AC²=AP•AD，

∴AP•AD=CQ•CB，選項④正確，

則正確的選項序號有②③④．

故答案為：②③④