Question

（2006•韶關）如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點D，E，已知⊙O的半徑為．
（1）求證：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓內接四邊形的外角等于它的內對角知，∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA．
（2）連接AE．
由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直徑對的圓周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；
在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．則DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=2．
解答：（1）證明：∵四邊形ABED為⊙O的內接四邊形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．

（2）解法1：連接AE．
由（1）得，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；
∴，即DE=2．

解法2：連接DO，EO．
∵AO=DO=OE=OB，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB；
∵四邊形ABED為⊙O的內接四邊形，
∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE；
而∠CDE+∠CED=120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°，
∴∠ODE+∠OED=120°
則∠DOE=60°，
∴△ODE為等邊三角形；
∴DE=OB=2．
點評：本題考查了圓內接四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、圓周角定理，直角三角形的性質等知識的綜合應用能力．