Question

如圖，在△ABC 中，∠ABC=∠CAB=72°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，連接CE，線段BD（或其延長(zhǎng)線）分別交AC、CE于G、F點(diǎn)．
（1）求證：△ABG∽△FCG；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻，使得△ABG與△FCG全等？若存在，求出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件可以推出∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定義，推出∠ABD=∠ECA，繼而推出△ABG和△FCG形似；
（2）根據(jù)全等三角形的判定定理，當(dāng)BG=CG時(shí)，△ABG與△FCG全等，然后根據(jù)BG=CG，結(jié)合已知條件推出∠GCB=∠GBC=36°，得∠CAE的度數(shù)，即可知旋轉(zhuǎn)角α的大小

解答：解：（1）證法一：∵△AED是由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴∠ABD=

180°-∠BAD 2

=

180°-∠CAE

2

=∠ECA，（5分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）
證法二：∵△AED是由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴

AB

AC

=

AD

AE

，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠ECA（4分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）

（2）答：存在（8分）
由（1）知△ABG∽△FCG，∴當(dāng)BG=CG時(shí)，△ABG≌△FCG，
∵∠ABC=∠CAB=72°，∴∠BCA=36°，又△ABG≌△FCG（已知）∴GB=GC，∴∠GCB=∠GBC=36°
又BA=AD∴∠FBA=∠BDA=72°-36°=36°，∴∠BAD=108°，即旋轉(zhuǎn)角∠α=∠BAD=108°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同學(xué)們對(duì)于相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的掌握，本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知求出各相關(guān)角的度數(shù)，找到相關(guān)的相似三角形．