Question

如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，以AD為一邊向右作正三角形ADE．
（1）求△ABC的面積S；
（2）判斷AC、DE的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC可得△ACD為直角三角形，因為△ABC為邊長為4的正三角形，利用三角函數可求AD，從而求出面積；
（2）判斷∠CFD=90°即可．

解答：解：（1）在正△ABC中，AD=AC×sin∠C=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

，（2分）
∴S=

1

2

BC×AD=

1

2

×4×2

3

=4

3

．（3分）

（2）AC、DE的位置關系：AC⊥DE．（1分）
在△CDF中，∵∠CDE=90°-∠ADE=30°，（2分）
∴∠CFD=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-30°=90°．
∴AC⊥DE．（3分）
（注：其它方法酌情給分）．

點評：本題考查了正三角形的性質，特殊的三角函數值，三角形面積的計算，以及垂直的定義，解決的關鍵是對這些基本性質的理解和掌握．