Question

如圖，直線l₁⊥x軸于點A（2，0），點B是直線l₁上的動點．直線l₂：y=x+1交l₁于點C，過點B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過點O，B的直線l₄交l₂于點E，當直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時，設(shè)該三角形面積為S₁，當直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時，設(shè)該三角形面積為S₂．
（1）若點B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點坐標為______；
（2）若點B在直線l₁上，且S₂=S₁，則∠BOA的度數(shù)為______．

Answer 1

解：（1）設(shè)B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=BC=|3-m|，S₁=×（|3-m|）²=（3-m）²．
設(shè)直線l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：k=，
則直線的解析式是y=x．
根據(jù)題意得：，解得：，
則E的坐標是（，）．
S_△BCE=BC•||=|3-m|•||=．
∴S₂=S_△BCE-S₁=-（3-m）^2_．
當S₁=S₂時，-（3-m）²=（3-m）²．
解得：m₁=4（不合題意舍去）或m₂=0，
則B的坐標是（2，0）；

（2）當S₂=S₁時，-（3-m）²=（3-m）²．
解得：m=4+2或4-2．
則AB=4+2或4-2．
∴tan∠BOA=2+或2-．
∴∠BOA=75°或15°．
分析：（1）設(shè)B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S₁，求得直線l₁的解析式，解方程組即可求得E的坐標，則S₂的值即可求得，根據(jù)S₁=S₂，即可得到一個關(guān)于m的方程從而求得m的值；
（2）根據(jù)S₂=S₁，即可得到一個關(guān)于m的方程從而求得m的值，得到AB的長，從而求得∠BOA的正切值，求得角的度數(shù)．
點評：本題考查了一次函數(shù)與三角函數(shù)，三角形的面積，正確表示出S₂是關(guān)鍵．