Question

如圖，直線l₁⊥x軸于點（1，0），直線l₂⊥x軸于點（2，0），直線l₃⊥x軸于點（3，0），…直線l_n⊥x軸于點（n，0）．函數y=

1

2

x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n；函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面積記作S₁，四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₂，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₃，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積記作S_n，那么S₂₀₁₂=（　　）

A．3015

B．3015.75

C．3017.25

D．3017

Answer 1

分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和點B₁，B₂，B₃，…B_n的坐標，利用三角形的面積公式計算△OA₁B₁的面積；四邊形A₁A₂B₂B₁的面積，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積，則通過兩個三角形的面積差計算，這樣得到S_n=

3

2

n-

3

4

n，然后把n=2012代入即可求得答案．

解答：解：∵函數y=

1

2

x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，

1

2

），A₂（2，1），A₃（3，

3

2

）…A_n（n，

1

2

n），
又∵函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=

1

2

•1•（2-

1

2

），
S₂=

1

2

•2•（4-1）-

1

2

•1•（2-

1

2

），
S₃=

1

2

•3•（6-

3

2

）-

1

2

•2•（4-1），
…
S_n=

1

2

•n•（2n-

1

2

n）-

1

2

•（n-1）[2（n-1）-

1

2

（n-1）]=

3

2

n-

3

4

．
當n=2012，S₂₀₁₂=2012×

3

2

-

3

4

=3017.25．
故選C

點評：此題考查了一次函數的性質、三角形的面積以及整數的混合運算等知識．此題難度較大，屬于規律性題目，注意數形結合思想的應用，注意得到規律：S_n=

3

2

n-

3

4

n是解此題的關鍵．