Question

如圖，在菱形ABCD中，過A作AE⊥BC于E，P為AB上一動點，已知cosB=

5

13

，EC=8，則線段PE的長度最小值為

60

13

．

Answer 1

分析：先設BE=x，易知BC=x+8，利用菱形的性質可知AB=BC=x+8，在Rt△ABE中，結合cosB=

5

13

以及余弦的計算可得x=

5

13

×（x+8），易求x，據圖可知點E到線段AB的最小距離應該是過E作AB的垂線段的長度，再過E作EP⊥AB于P，在Rt△BPE中，再利用三角函數可求PE．

解答：解：設BE=x，那么BC=x+8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=x+8，
又∵cosB=

5

13

，AE⊥BC，
∴BE=cosB•AB，
即x=

5

13

×（x+8），
解得x=5，
點E到線段AB的最小距離應該是過E作AB的垂線段的長度，
那么，先過E作EP⊥AB于P，
在Rt△BPE中，PE=

1-cosB2

•BE=

12

13

×5=

60

13

．
故答案是

60

13

．

點評：本題考查了菱形的性質、解直角三角形、垂線段最短．解題的關鍵是求出BE的長，注意sinB=

1-cosB2

．