Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于點E，AE＝2，ED＝4.

(1)求證：△ABE∽△ADB；

(2)求AB的長；

(3)延長DB到F，使得BF＝BO，連接FA.試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

 (1)證明：∵ AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D，

又∵∠BAE＝∠EAB，∴△ABE∽△ADB，

(2)解：∵△ABE∽△ADB，∴＝，∴AB²＝AD·AE＝(AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12，∴AB＝2.

(3)直線FA與⊙O相切，理由如下：

連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，

∴BD＝＝＝4，

BF＝BO＝BD＝2.

∵AB＝2，∴BF＝BO＝AB，則有∠OAF＝90°，

∴直線FA與⊙O相切．