Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，cot∠C=

3

4

．點P在邊BC上運動（點P不與點B、點C重合），一束光線從點A出發，沿AP的方向射出，經BC反射后，反射光線PE交射線CD于點E．

（1）當PE=CE時，求BP的長度；
（2）當點E落在線段CD上時，設BP=x，DE=y，試求y與x之間的函數關系，并寫出其定義域；
（3）連接PD，若以點A、P、D為頂點的三角形與△PCE相似，試求BP的長度．

Answer 1

分析：（1）先根據已知證明∠APB=∠C，再根據三角函數的知識得出PE=CE時，BP的長度；
（2）延長PE與AD的延長線交于點F，根據平行線的性質即可得出與x之間的函數關系；
（3）若△APD與△PCE相似，則有兩種情況：（ⅰ）∠ADP=∠C時，△APD∽△PEC，根據相似三角形的性質得出BP的長度；（ⅱ）∠APD=∠C時，△APD∽△DCP，根據相似三角形的性質得出BP的長度．

解答：解：（1）根據已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=

3

4

∴

BP

AB

=

3

4

（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3時，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3時，PE=CE

（2）延長PE與AD的延長線交于點F，
∵BP=x，
∵光線從點A出發，沿AP的方向射出，經BC反射，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴

DF

PC

=

DE

EC

（1分）
即

2x-5

8-x

=

y

5-y

（1分）
∴y=

5(2x-5)

x+3

（1分）
∵點E在線段CD上
∴函數定義域為

5

2

≤x＜8（1分）

（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD與△PCE相似，則有如下兩種情況：
（ⅰ）∠ADP=∠C時，
推出BP=2時，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C時
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD²=AD•PC
∵PD²=4²+（5-x）²（1分）
∴16+（5-x）²=5（8-x）（1分）
解得x1，2=

5± 21

2

，經檢驗，均符合題意
故x1，2=

5± 21

2

時，△APD∽△PCE；（1分）
∴當BP為2，

5± 21

2

時，△APD與△PCE相似．
（法二）過點D作DH⊥AP于點H
∵∠DAP=∠APB∴

AB

AP

=

DH

AD

，

BP

AP

=

AH

AD

∵AP=

42+x2

∴DH=

20

16+x2

，AH=

5x

16+x2

∴HP=

16+x2

-

5x

16+x2

（1分）
∵cot∠C=

a

∴

b

4(

16+x2

-

5x

16+x2

)=3•

20

16+x2

（1分）
解得x=

5+ 21

2

，或x=

5- 21

2

，
故x=

5± 21

2

時，△APD∽△PCE；（1分）
∴當BP為2，

5± 21

2

時，△APD與△PCE相似．

點評：本題主要考查了梯形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定和性質以及函數知識的綜合應用，要根據對應角的不同進行分類求解．