Question

已知O是等邊△ABC內的一點，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比為6：5：4．則在以OA、OB、OC為邊的三角形中，此三角形所對的角度之比為    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知設∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x，則6x+5x+4x=360°，得x=24°，∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，以點A為中心．將△AOB逆時針旋轉60°得△AO′C，則△AO′C≌△AOB，O′C=BO，∠AO′C=∠ABO=144°，旋轉角∠OAO′=60°，AO=AO′，可知△AOO′為等邊三角形，OO′=AO，在△OO′C中，由∠OO′C=∠AO′C-∠AO′O，∠O′OC=∠AOC-∠AOO′，由內角和定理求∠OCO′，再求比．
解答：解：如圖，以點A為中心，將△AOB逆時針旋轉60°得△AO′C，
則△AO′C≌△AOB，O′C=BO，
又旋轉角∠OAO′=60°，AO=AO′，
∴△AOO′為等邊三角形，∴OO′=AO，
由已知設∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x，則6x+5x+4x=360°，解得x=24°，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，∠AO′C=∠ABO=144°，
在△OO′C中，由∠OO′C=∠AO′C-∠AO′O=144°-60°=84°，
∠O′OC=∠AOC-∠AOO′=96°-60°=36°，
由內角和定理，得∠OCO′=180°-84°-36°=60°，
∴∠OCO′：∠O′OC：∠OO′C=5：3：7．
故答案為：5：3：7．
點評：本題考查了旋轉的性質的運用．關鍵是通過旋轉的性質，得出等邊三角形，然后再計算．