Question

在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分線；
（1）若AD是△ABC的BC邊上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如圖1），求∠EAD的度數；
（2）若F是AE上一點，且FG⊥BC，垂足為G（如圖2），求證：∠EFG=

∠C-∠B

2

；
（3）若F是AE延長線上一點，且FG⊥BC，G為垂足（如圖3），②中結論是否依然成立？請給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理得∠A=180°-30°-70°=80°，再根據角平分線定義得∠EAC=

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2

×80°=40°，由AD是△ABC的BC邊上的高，得∠ADC=90°，計算出∠DAC=90°-70°=20°，
則∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）根據三角形內角和定理得∠A=180°-∠B-∠C，再根據角平分線定義得∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

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2

（∠B+∠C），而∠DAC=90°-∠C，可計算得∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

1

2

（∠B+∠C）-90°+∠C=

1

2

（∠C-∠B），然后利用平行線的性質得到結論；
（3）與（2）證明方法一樣．

解答：（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠A=180°-30°-70°=80°，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠EAC=

1

2

×80°=40°，
∵AD是△ABC的BC邊上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；

（2）證明：過A點作高AD，如圖，
∠A=180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
而∠DAC=90°-∠C，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

1

2

（∠B+∠C）-90°+∠C=

1

2

（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）；

（3）②中結論依然成立．理由如下：過A點作高AD，如圖，
在（2）中得到∠EAD=

1

2

（∠C-∠B），
∵FG⊥BC，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了三角形外角性質以及三角形的高、角平分線．