Question

（2013•河南模擬）如圖，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=90°，OA=OC=5，BC=3．以O為原點，OA、OC所在的直線為坐標軸建立平面直角坐標系．過A、B、C三點的拋物線交x軸的負半軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD交y軸于點E，連接AC交BD于點F，比較AE和AB的大小，并說明理由；
（3）點P是拋物線上一點，判斷有幾個位置能夠使點P到直線AC的距離等于BF的長，直接寫出相應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先寫出點A、B、C的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出點D的坐標，從而得到OD的長，過點B作BH⊥AD于H，然后求出DH=BH=5，從而判斷出△BHD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠BDH=45°，再求出∠OED=45°，然后求出OE=OD=2，再求出EC=3，得到BC=EC，再求出∠OCA=45°，∠BCA=45°，然后判斷出AC是BE的垂直平分線，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等證明即可；
（3）先求出直線AC的解析式，再根據平行線間的距離相等，求出過點B、E與AC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可．

解答：解：（1）由題意知，A（5，0），B（3，5），C（0，5），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

25a+5b+c=0 9a+3b+c=5 c=5

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=5

，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+5；

（2）AE=AB．
理由如下：令y=0，則-

1

2

x²+

3

2

x+5=0，
整理得，x²-3x-10=0，
解得x₁=-2，x₂=5，
∴點D（-2，0），OD=2，
過點B作BH⊥AD于H，
則BH=5，OH=3，
∴AH=5-3=2，DH=3+2=5，
∴DH=BH，
∴△BHD是等腰直角三角形，
∴∠BDH=45°，
∴∠OED=90°-45°=45°，
∴OE=OD=2，
∴CE=5-2=3，
∴BC=EC，
又∵OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠BCA=45°=∠OCA，
∴AC是BE的垂直平分線，
∴AE=AB；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，
則

b=5 5k+b=0

，
解得

k=-1 b=5

，
所以，y=-x+5，
∵AC是BE的垂直平分線，
∴點P在過點B或點E與AC平行的直線上，
①易求過點B與AC平行的直線解析式為y=-x+8，
聯立

y=-x+8 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=2 y1=6

，

x2=3 y2=5

（為點B坐標），
∴點P₁（2，6）；
②易求過點E與直線AC平行的直線解析式為y=-x+2，
聯立

y=-x+2 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+5

，
解得

x1=-1 y1=3

，

x2=6 y2=-4

，
∴點P₂（-1，3），P₃（6，-4），
綜上所述，點P的坐標為P₁（2，6），P₂（-1，3），P₃（6，-4）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的判定與性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，平行線間的距離相等的性質，聯立兩函數解析式求交點坐標的方法，綜合題，但難度不是很大．