Question

已知關于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0
（1）若方程有兩個實數根，求k的取值范圍．
（2）是否存在k值，使方程的兩個實根互為倒數？若存在求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵關于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的一次項系數a=1，二次項系數b=-（k+1），常數項c=k ²+1，
∴△=b²-4ac=[-（k+1）²-4×1×（k ²+1）≥0，即2k-3≥0，
解得，k≥；

（2）不存在．理由如下：
設關于x的方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的兩根為x₁，x₂，則x₁•x₂=k ²+1=1，
解得，k=0．
∵k≥，
∴k=0不符合題意，
∴這樣的k的值不存在．
分析：（1）方程有兩個實數根，則一元二次方程x²-（k+1）x+k ²+1=0的根的判別式△≥0，據此可以求得k的取值范圍；
（2）利用根與系數的關系知•==1，據此列出關于k的方程，通過解方程來求k的值．
點評：本題考查了根與系數的關系，根的判別式．注意，在利用根的判別式△=b²-4ac時，一定要弄清楚該公式中的字母a、b、c分別表示的含義．