Question

已知：如圖，?ABCD各角的平分線分別相交于點E，F，G，H，
求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析：由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD∥BC，利用平行線的性質可得∠DAB+∠ABC=180°，而AH，BH分別平分∠DAB與∠ABC，則∠HAB=

1

2

∠DAB，∠HBA=

1

2

∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA=90°，再利用三角形內角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠DEA=90°，利用三個內角等于90°的四邊形是矩形，那么四邊形EFGH是矩形．

解答：證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AH，BH分別平分∠DAB與∠ABC，
∴∠HAB=

1

2

∠DAB，∠HBA=

1

2

∠ABC，
∴∠HAB+∠HBA=

1

2

（∠DAB+∠ABC）=

1

2

×180°=90°，
∴∠H=90°，
同理∠HEF=∠F=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．

點評：本題利用了平行四邊形的性質、角平分線的定義、平行線的性質、矩形的判定．