Question

（2012•貴港）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，過A作AC⊥MN于點C，過B作BD⊥MN于點D，P為DC上的任意一點，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是

14

2

．

Answer 1

分析：先由MN=20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

解答：解：∵MN=20，
∴⊙O的半徑=10，
連接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
∴OD=

OB2-BD2

=

102-62

=8；
同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，
∴OC=

OA2-AC2

=

102-82

=6，
∴CD=8+6=14，
作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，
在Rt△AB′E中，
∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′=

AE2+B′E2

=

142+142

=14

2

．
故答案為：14

2

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題、垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．