Question

如圖，已知△ABC中．∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圓，AD是BC邊上的高，H是△ABC的垂心，連接OA、OB、OC，連接OH并延長交AB于M，交AC于N，求證：
（1）∠BAD=∠OAC；
（2）AH等于△ABC外接圓半徑；
（3）MH=NO．

Answer 1

證明：（1）在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC，
又∵∠AOC=2∠B，∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°-∠AOC）=90°-∠B，
∴∠BAD=∠OAC．

（2）延長CO交⊙O于點F，連接AF、BF、BH，作OE⊥BC交BC于E，
∠ADC=90°，∠FBC=90°FB∥AD，
同理BH∥FA，
∴四邊形AFBH是平行四邊形．
∴AH=FB=20E，
又∠BOC=2∠A=120°，OE⊥BC，OB=OC，
∴∠OBC=30°，OE=OB，
即OB=20E，
∴AH=OB，
即AH等△AABC外接圓半徑．

（3）在△AMH和△ANO中，∠MAH=∠NAO（已證），AH=AD（已證），
又∵∠AHO=∠AOH，
∴∠AHM=∠AON，
∴△AMH≌△ANO，
∴MH=NO．
分析：（1）根據垂直和三角形的內角和定理求出∠BAD=90°-∠ABC，根據圓周角定理求出∠AOC=2∠B，根據三角形的內角和定理求出∠OAC=90°-∠ABC，代入求出即可；
（2）延長CO交⊙O于點F，連接AF、BF、BH，作OE⊥BC交BC于E，求出FB∥AD和BH∥FA，得到平行四邊形AFBH，求出∠OBC=30°，推出OE=OB，即可求出答案；
（3）證△AMH≌△ANO即可．
點評：本題主要考查對三角形的外接圓與外心，全等三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，三角形的內角和定理，平行線分線段成比例定理，圓周角定理，含30度角的直角三角形等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．