Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，且經過點，與軸分別交于、兩點.

（1）求直線和拋物線的函數表達式；

（2）如圖，點是拋物線上的一個動點，且在直線的下方，過點作軸的平行線與直線交于點，求的最大值；

（3）如圖，過點的直線交軸于點，且軸，點是拋物線上、之間的一個動點，直線、與分別交于、兩點.當點運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）為定值8，見解析.

【解析】

（1）設直線解析式為，把代入求解即可；設拋物線解析式為，代入求解即可；

（2）設，，則的橫坐標為，縱坐標為，表示出的長，利用二次函數的性質求解即可；

（3）過點作軸交軸于，先求出點C和點D的坐標，設，則，，，根據，表示出EF的長，根據表示出EG的長，然后表示出，整理即可求出結論.

解：（1）設直線解析式為，由題意可得，解得，

∴直線解析式為，

∵拋物線頂點坐標為，∴可設拋物線解析式為，

∵拋物線經過，∴，解得，

∴拋物線為；

（2）設，，則的橫坐標為，縱坐標為，

∵軸，∴，得，

∴當時，有最大值，最大值為；

（3）.

理由如下：如圖2，過點作軸交軸于，

在中，令可得，解得或，

∴，，

設，則，，，

∵，∴，

∴，∴，

同理得，

∴，

∴

，

∴當點運動時，為定值8.