Question

我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖（1）所示基本圖的特征點，顯然這樣的基本圖共有7個特征點。將此基本圖不斷復制并平移，使得相鄰兩個基本圖的一邊重合，這樣得到圖（2）、圖（3），……。

（1）觀察以上圖形并完成下表：

圖形的名稱	基本圖的個數	特征點的個數
圖（1）	1	7
圖（2）	2	12
圖（3）	3	17
圖（4）	4
…	…

猜想：在圖（n）中，特征點的個數為       （用n表示）

（2）如圖，將圖（n）放在直角坐標系中，設其中第一個基本圖的對稱中心O₁的坐標為（x₁，2），則x₁=       ；圖（2013）的對稱中心的橫坐標為       。

 

Answer 1

【答案】

（1）

圖形的名稱	基本圖的個數	特征點的個數
圖（1）	1	7
圖（2）	2	12
圖（3）	3	17
圖（4）	4	22
…	…

（2）；

【解析】（1）尋找規律：后一個圖形特征點的個數比前一個圖形的特征點多5個，符合一次函數的特征。

設圖形數為n，特征點的個數為y，二者之間的關系為。

將（1，7），（2，12）代入，得，解得。

∴。檢驗：（3，17）符合。∴奧圖形數與特征點的個數之間的關系為。

當n=4時，。

（2）O₁的橫坐標是邊長為2的等邊三角形的高，根據含30度角直角三角形的性質可得x₁=

易得圖（2013）共有2013個正六邊形，總的橫坐標是，

∴圖（2013）的對稱中心的橫坐標為。