Question

如圖一，有一個圓O和兩個正六邊形T₁，T₂．T₁的六個頂點都在圓周上，T₂的六條邊都和圓O相切（我們稱T₁，T₂分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．

（1）請你在備用圖中畫出圓O的內接正六邊形，并簡要寫出作法；
（2）設圓O的半徑為R，求T₁，T₂的邊長（用含R的式子表示）；
（3）設圓O的半徑為R，求圖二中陰影部分的面積（用含R的式子表示）

Answer 1

解：（1）如圖

作法：①在⊙O中做圓心角∠AOB=60°；
②在⊙O上依次截取與弧AB相等的弧，得到圓的6個等分點A、B、C、D、E、F；
③順次連接各點，六邊形ABCDEF即為所求正六邊形．

（2）如圖：

∵由（1）知△AOB為等邊三角形，
∴T₁的半徑為R．
連接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA，
∴∠OGB=60°，
∴BG=，
設BG為x，由勾股定理有：x²+R²=（2x）²，
解得：，
外切正六邊形的邊長為．

（3）由圖知：
陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內接正六邊形的面積，
∵內接正六邊形的面積為S_△AOB的六倍，，
∴內接正六邊形的面積為：．
∵外切正六邊形的面積為S_△OGH的六倍，，
∴外切正六邊形的面積為：．
．
分析：（1）先畫出60°的圓心角，確定圓心角所對的弧，在圓上依次截取與弧AB相等的弧即可；
（2）連接OG，得到Rt△OGB≌Rt△OGA，然后利用勾股定理解答；
（3）根據“陰影部分的面積=外切正六邊形的面積-內接正六邊形的面積”，并把正六邊形的面積轉化為
六個三角形面積的和解答．
點評：此題考查了圓和其內接正六邊形、外切正六邊形之間的關系，要轉化為正三角來解答．