Question

如圖一，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的六個頂點都在圓周上，T2的六條邊都和圓O相切（我們稱T1，T2分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．

（1）請你在備用圖中畫出圓O的內接正六邊形，并簡要寫出作法；

（2）設圓O的半徑為R，求T1，T2的邊長（用含R的式子表示）；

（3）設圓O的半徑為R，求圖二中陰影部分的面積（用含R的式子表示）．

          

圖一                   備用圖                 圖二

 

Answer 1

解: (1) 如圖     

  作法：①在⊙O中做圓心角∠AOB＝60°；

        ②在⊙O上依次截取與弧AB相等的弧，得到圓的6個等分點A、B、C、D、E、F；

        ③順次連接各點，六邊形ABCDEF即為所求正六邊形.

     

(2) ∵由（1）知△AOB為等邊三角形，∴T1的半徑為R;  

連接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA

         ∴∠OGB＝30°∴BG＝

設BG為x，由勾股定理有：

解得：

外切正六邊形的邊長為

（3）由圖知：

陰影部分的面積＝外切正六邊形的面積－內接正六邊形的面積

∵內接正六邊形的面積為S△AOB的六倍 ，

 ∴內接正六邊形的面積為：   

∵外切正六邊形的面積為S△OGH的六倍 ，

 ∴外切正六邊形的面積為：